数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1.已知U=｛斗－3sx<3},A＝忖－2sx<3}，则图中阴影表示的集合是

A.｛斗－3::;x::;-2}B.｛斗x<-3如红｝

C.伈|x::;o}D忖－3:S:x<-2}二

2.命题“玉。E(O，如），1nx。~4i-l"的否定是

A.试E(O，如），lnx。<4)-18.玉。任（0，知），ln兑江。－l

C.VxE(O，峦），lnx<x—1D.V.江(o，钩），lnx凶x—l

22

Xy

3.下列与椭圆C:—-+--=1焦点相同的椭圆是

95

2x又2

x2y-2222

A_+_lB_o+_5_lX.yX.y

591C-+—=lD.—+--=1

94106

3+i

4.已知复数z＝一—，则复数z的虚部为

l+i

A.-1B.1C.一lD.i

5已知sin(a-计:贝Llsin(2a＋汁

2525

ABcD

-9-99-9-

|,11

e

6.函数f(x)=的大致图象为

2+cosx

I.I'

2r.`I~1

一2-IOll2X-2-IOIl2r

_,-1

ABcD

7.已知等差数列忆｝的前n项和为S,,，若a1=2,2S3=S2+a4,则a2022=

A.-6065B.-6061C.6061D.6065

X。

8.已知函数J(x)=ex-J(O)x,若存在实数x。使不等式2a-1-—>．f(x。)成立，

2

则a的取值范围为

A.[1，知）B（女，3]C.［女，2)D.[O，笠）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分

为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类．“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜

索关键词的次数为基础所得到的统计指标．如图是202l年9月到2022年2月这半年中，

某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）．

7OOOO

60000卜--------------------------------------------

50000H------－-－J日－－-------------------------------1

40000…---------

JOOOO•-

2OOOO卜--－－－－.....＿＿___________________,.,_

10ooo~--------------------------------------"-.,..._-

。

9月10月II丿I12月1月2丿l

根据该走势图，下列结论不正确的是

A.网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱

B.网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循

c.2021年9月份的方差小于2021年11月份的方差

D.2021年10月份的平均值大千2022年1月份的平均值

l0将函数f(x)飞cos(())X＋气］（())>0)的图象向右平移工－个单位长度，得到函数

3())

y=g(x)的图象，若y=g(x)在［气］上为减函数，则o的值可能为

A.2B.3C.4D.5

x2y2

O,b>

11.已知F;,F2分别为双曲线C:飞a2-－－b2=I(a>0)的左、右焦点，点M为双曲

线右支上一点，设乙F;MF2=0,则下列说法正确的是

b2

A.线段EM长度的最小值为a+cB.线段F2M长度的最小值为—

a

兀

C.若当0=—时，~OMF2(0为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为

2

$+1

冗

D.当0＝—时，若直线FM与圆x2+y2=a相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝

6

对值为3-J

1

12.甲、乙两人进行2n(nEN*)局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为－．规

2

定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为P(n)，假设每局比赛

互不影响，则

111

A.P(l)=-:-B.P(3)=

416

C”

C.P(n)=1-~D.P(n)单调递增

2初

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设向旦a=(2,-1),b=(x,2)，若a上(2a-b)，则x=

14.三）6的展开式中所有项的系数和为64,则a＝.

lOX-2_·102-rx<2,

则不等式f(x)x)+f(x—1)<0的解集为

15.已知函数f(x)＝｛lx-31-1x>2,

16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球0的球

UUUUI

面上，PAJ_平面ABCD,PA=AB=2,BC=2✓2．点E在棱PB上，且EB=2PE，过

E作球0的截面，则所得截面面积的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤．

17.(10分）在6ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若（2a+c)cosB+bcosC=0.

(1)求角B的大小；

(2)设角B的平分线交AC边千点D,且BD=✓3,c=2,求a.

3

18.(12分）已知数列忆｝中，q=－且2a,,+1=4a,,+n-l(nEN*)

2

(I)求证：数列{a,,+％}为等比数列；

(2)求数列包｝的前n项和S,,.

19.(12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PC上底面ABCD,AB//CD,

冗p

乙BAD＝一，AB=PC=2,AD=CD=L点E是PB的中点．·星

2

(1)求证：平面EAC..l平面PBC;

(2)求二面角P-AC-E的余弦值．

B三AD

20.(12分）某大学的快餐店为增加营业额，特推出凡消费满99元可选择加10元购买盲

盒的促销活动．某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A,B,C三种样式，且每个盲盒只装

一个．该快餐店为了解该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了2m(meN.)名大学生顾客

3

进行调查据统计，抽取的男、女生人数相同，且男生购买盲盒的人数占男生人数的－，

5

4

女生购买盲盒的人数占女生人数的－，并根据以下2X2列联表计算可得臣的观测值k

5

:::::;,4.762.

另生女生合计

购买者

未购买者

合计

(1)求m的值，完成2X2列联表，并判断是否有95％的把握认为学生是否选择购买盲盒

与性别有关？

(2)为进一步征集学生对该促销方案的意见，快餐店又采用分层抽样的方法从上述未购买

盲盒的学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行面对面交流，求这3人中

女生人数X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：

n(ad-bc)1

K2=，其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K苏）1°1010051°°251°O101°0051°001

K。2.7063.84JI5.024I6.635I7.879I10.828

21.(12分）已知点M(p—1,p)在抛物线C:y2=2px(p>O)上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点M作斜率分别为Kp构的两条直线Kl2，若ll、l2与抛物线C的另一个交点分

别为A,B,且有K广Is=2,探究：直线AB是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，

说明理由．

22.(12分）已知函数f(x)=xlnx-ax2.

(1)当a=I时，求曲线f(x)在点(1,f(1)）处的切线方程；

(2)设x1工2是函数y=f(x)的两个极值点，且斗＃易，证明：lnx1+lnx2>0.

数学参考答案及评分意见

1,0l觽析1由片可刘，出彬次，，｀呤集合为霓仑A湘对于全负U怜扑复，习伤彬六小的集合怂t七八．所以t"卜一(,:I3,;;;上＜2,.

枚土r)．

2.Cl觯析］忤杆仓过的台定上全杯令店，外挤芍论加以吊定，贝J玩介3OO否定为，VrE(O,+"--},ln:r<.,,I．改达(;.

J.0（窜析）由匹粕凶CC!烂点小标为(2A)和(-x.o)，树足a息的只~'D为小，故沈D.

j+I_(31i)(1i)`2i

令．A（限祈1依越五．＝11i(11i)(1,).-—2-8-i.K扇祁为-I，故比八

59

议立让

S.I_.r.了天1

钮叩祈J叶·：）一I2血'{9：）一9.“十.+;)-•fn(2/JJ;-;)－叫2o:)-

巳｀

6.,[麟祈J由仅可知丙数f丘）一为供杀奴·所以并阰B心JJ!I((0)=-;;-<l.f斤J:J.书院D成JJ!1((2)－>2．坎

21ma,321m&2

选A.

3X~

i'.ll[:斛析J设浚寸乙蚊列的公乙为d．根抎习中句涂件可行2(3Xl+•·.-••d)一2XZ+d+Z+3d.

2

益瑾行花d-？．沃以”“一23X(ZC22I)一606J，故丛日，

rit!e

8.A［隅折J令工＝0偈f(O)=l，历以/le）＝贮．工，将扣一~J(了>)f，简得1G1§贮．．工c一一．令.-(:,;}=~·

22r－令·诅

g'(，工）一己1一了｀令＂r.）-g'（0-e'lI-r.A'(r)一已十1>0.:.g'｛心六懋两数．．，“>o时g'(r)＞g'（O)一o.8（工）方序讯

数．”:r）＞尺(0)＝1沁巨<0时只，＂比·11'(0)=0.＂匕）六臧飞`}心）＞片(0)＝1过此＂心及I}、价为1．从而让1忑l.lP"忑1·

故士A.

9.AHC（解析）对十入，井不足不断减汤，中H右匀还．杖A甘：＂二日，井尤闲n性交化，沙右1月处的儿作．故li话：对干巳9月份的饮

功大小大＋1l月份可肝以9丿1份方之耍大．＆c忙心）fI)．如即可知．2O21年lOfl份的平均化大十勾边斗1月份的Y灼也．故I)

王心，攻*:OC.

瓜Br撼析J山心叩心）一、1妞，（＂（A---)－如的m·当也名－如<.m~-:-·

加”)·3文-`3心...

“rJ.蚊:--,(.,．）在尸）上为吐从数旦..>0．广令，印区心．故过AlL

`$

l1.AO)【斛析］由双曲找住戍＆知入正'11,H济员（：中．F心1-rI2`—氐，G衍灾心水，－打11,

l)，知门，怍().4.l上，从十从A，上｀匕上Y,M-j-点ll.

·:1-,M与氏工，切＇－9,即l．心妞．，一7.

b

···1叨I-心,F,n-i...n.uI一2J予Q.F'湿I一.b.IP,OI一21>,

又点M在双曲线上····|F,MIP湿l-2·1.3t,i乃位一切，

,,.~....a

筷过付b－汕、5u,UJ--3、5划1k---3§，故比Acn.

已C

I-

12.An［饼析）白H．言汜戊便,p鼠切比赛，l”“J至少皇”1

1片．P{,.)-（一2）四IL亡'l,··C心，1“Cl,c.1•••1c.,I

ICL1岱l1Cll

G．十L7.“+···一忱－2..，．．l'(n)一，故C恪快，以1)一-:.AiF.,1111'(3)~:-::-．H守识，

22'._,2乙｀42Jl'32

。(2心！

1二;.··-(

气二－也一产一4(“1），如-l）;.:.I,

P(习一1)一寸?..1,.r·小·J，罕中＋2）1(2n+2)（五十l)2"一1

2"'.嘈(“+1)!(n--)1

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杖以＿··>，所以PO)＜P(，，l·l),O江＠．故~An.

2•2',J

二代以习欢并（二）斩八才冲狄华算案笔l页（共｀页｝

13,6［斛析）？·K一(C.z，4),．．（勾今）一".I'lX214一9.“又一6.

旦，3戏l（震析）叫“m-l可4扑伈－去｝，印展开式中6f4II'(的系败．＂加J)`＝队，奸措＂一3戏l.

叶气）［幌血如心心（又）＝JO-•l"'·1l;.Q.f<工n<o,心和也）气C.x-l}<o伍哎立；

＂女会时J<l...:2.f(.zl)动．I（x)＝工31=3－工l＝2工<o.I.It时不等式心）一J(工D<9伍戌立·

｀i扛女,J;'.;,t时.,《心．f(工P-.z!lI3(.z:iJ一比0恒成，心

$

当丘习寸．八）l氏I)一-rlII...II一心9<C·，野初＂＜飞

2

g

络上吓约，不芯犬f（正如t)<a的环集为（~;)..

16

15.,齐［麟析J句州．将习快悖I'AlJCD补形为长力休，易知诙长方体的外仪球I!.!,为内校停PAUCD纣

外仗球．了1心为长方体的体对，1坟．．．．球心O在以：饮中从)·.．．，外技球•r.径K-』,L-

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＿✓此｀十j`＂t_i,Ai二2．没平面«为过E冲钵0印兹面．叮当OEI平囡·引．级面积J让小．山阳可知

2JI

2、51616l6

OE=41压子－一一，设砒面下径六r,.Ur'-R'0£'－一．斤以截面闪饮1lii积为一六，印m勾鹹面面积的凸小伙方一亢．

99$

17,[霄析）／l）kh(2al么）m．II加mC-t出乙0·il1”~IlII,cmC-o,

山正拭定攻得九inAcoR+S,nCosB+5hBoouC一？如AOO“O－伽A-~..................…..................................3分

因为AE(o．亢｝．斤以IWIA¢0,

2,:

环以～｀8二－，又l:lE(O.r.).8PJJ~=.:·.......................................................................................................

z.~--..-...-•r-a.5分

2x

(2)内Cl汀3B一，又内un力111B的立分钱，可知LATIIJ-L.CBD-::,

“iS心w-S心~.J..S,,,w,•·一一...........一一一一,-...........-...一..-·······一...........................................-..一...'一...........-............1分

动一0r.inn-一（今n1>•.,n.LAnl>--=-~•nn••i11Lcnn,

222

2rr1

哼以一－Z..X--2aX..··-·.;咖一；二－2-X--.坏"、芍-".n--·3-+-2-...x、13x-'.-·釭1--"3.

，，得6一·1、/S6........................................................................................................................................10分

廿1

18.【霄析）（Il..•2a.一，一钮，IwI,:.~.-，一2丘气+-1-2'

I•-l

＂，一二纭＋二＿－—

2-·.22tt..,十n

一一一2,..........................................................................................3分

"+尺＿.

"•2，，．一一

从．＋-;--22

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...,1+--.=?.

222

•••{“`一；｝公寸双为2.公出为2的守比效列．....................................................................................................分

可

(2)由(I}得，a.++,,=2"·,．勺,.=r一....................2'.....................................................................................1分

2-·,....-.恤

s.一ol-crb，一···ia.

=2`+2,＿于十..，一T二．（］一2+3+···+,r)

2

2(lr>

}x沌"21I)一2·'，2,II一一,,次．..........................................................................................12分

I2

二纶复习只令（二）灯万＊符欢宁于宴第8页（共9页）

l9.（心）（l）证历，沁I'f·石A.1:1cu.Ace.了．iiilJ此D.~,CIPC..........,....................,.............令．分

“1)一(..JJ一1在J(t^AUC中13AC-、范．

,,

设战中点力G,J钮位

叩边形A杠为边长力1帘正方形，汗以G.L，讲，且配－．Jr2,

因为从~•-.ec'=．切·厅以ACJ瓦......................................................................_...............,....................3分

又因为BCnl't-C.!.斤以ACI江心

又A(..('f口妞·听以平面1:.·•.CI干面PU(.＇....................................................,_..........................................;分

叩(.,六坐环饭众，分刘以心．心心，加·令.r.轼·肛叩吓妇立角坐打朵`

UI仁(O.c.C)，A(l,l.o)、BC.l·0)．P(0心）．.MH(!.!.1)·忒一().1.0)．石一(!.~.I}',-/

E,1

丘lAcn玑lJ化知，m－立{llO}六7面P.....L的个让力量...．．．．．．．？分乙｀

设·一(x.l,、e)为平面上4C的．个认白区．片

,

川c:;一::刃C:一0，及x-1.RJ:;--1.艾－-j,见从一(L．丑·一ll,....干.．~··················-···········..•··•··••·i分

".CF:-u,J），红一C.

田·..?心

nj，如o．心一--;:;::-'-=--';-.....................................................................................................11分

1..．l"、污x”,l3.

什图可知＿门分PACE为供体．

、，·6

听以｀jjJ分P小:.:F..-i-公认位.JI.·一．..................................一........................._........._.一·-····················--身．l？分

3

20.［斌析］（l）Rm－扛（IIex·)，根文亡列出2/2打红表如下贸示，

为生女斗合什

肋买才I玩.1.

”“.................................................................,....................................i分

未购买名inn3尺

令汁5见iH1加

贮X(4“x,.“玩X心2一旦

nJK·一,

5nXS.x7nX3“江．

卫坛

又因为F~土7印．祈从~.i.?62.nEN..

21

忏佑＂一1f)及m－印．

故次讷企门另生．女生咕人歆夕印l儿矶...........................................................·-····························-·............-t分

得歹l,x2列戊叔知下，

另生1女生介lI

1t'I40?O

a;|I,'·`:I

5C|bOl的

囚为1，和2．＞3.m)．．片以.fj9"片的杞以认为牛生是行比扦片头3众-4tl:}片关，................令.....................................畸．．？分

加Iv

--？人，...............-...．..................噜．．，．...............

(2)白分以袖件汕灼出的心人中．另；L:右6X-30..4人．女--生右··6X...-31)，q分

阿从这6人中扣攻3人．i!s人中女牛人汝X的忻才可作欢仇为0.1.2·

GlL.Cl3七．Cll

P(X一C')一一，p，X一1)一:Q·-$'P(X一2)一出一．，.,........................................,.....................10分

Gb

币以人生分布列为；

二轮义才氓名（二）舫六芩仓数学吝宴价3p(（J肛丘）

1J,I

µlE(X)一ox;一I>-.~+2>',．一1..........................................................................................................12分

b

21.“”fJU)络~f(p1.p)代人儿钓~c抒，P,二2p(pl).

化饬付p'Zp-0，鲜褂p-2忒户一0冷归心伪坟C的片喜的力楼为:,'一4.7.......................................................I分

(2)小(l)褐，M（J.2)，议入（八，")'11(,..:s＇），

;r:2y上-，_6

认H,,.1-;y(.-y-+-2'

4

t4.(

问座幻一...千t,一2=I－沪吓．y«一4(.)............................................................................,s分

＂一2·-·"'-·:1,+2·,,-2

习丘蚥AB冬华为0dl，丘线AB旧方代为勺从饬这C只4个公共灶．不合配g．令去，

叫立线ABft卓为不为0时没文找AB的力花为口－“V+1···•···•·•·••·••··•···•···•···•·········”“”“·········”“”“··········”“8分

杞1-`.vl'代人yg_“僚l!l:U,:1,＿心（，心,I<).~1y'-1,M,山一u,

．y,切：＝丘

得．lit入(`)大，付，4[一L勹i一,......身..................令.................令....................................,.......IV分

,y,y．一”

祜以白令／访节方迁为;r-myI.

兑,.可知立找.-ti!恒过定欢{l,CJ.•··•··,......................,..,.................................,....................雪....................lZ分

22.（灯析JCI)由廷．当a一1忙．f{.r,)一J'In,z工·.f'位）一1n上12.z,f(l)一1.f(1)一

，，式以由农八工）在点(1.l(l)）灶钓切牡方已为y+I一(,n.