13、七下§5《轴对称图形》：
站高一点分析、运用教材
本章教材其实蕴含了丰富的数学思想资源，建议大家站到高一点的立场去分析、发掘和运用它——但不排除对教材实行改进。
一、请用好数学语言训练资源。
数学思维包括形象思维，更包括抽象思维——用抽象符号作材料运作的思维。数字、字母、算符都是符号——但语言是更重要的符号。
思考过程要用“内部语言”，它无声、模糊、散乱、跳跃但很快；对思考过程与结果的表达则要用“外部语言”（话语、文字），为了让人听懂、看懂，它必须准确、清晰、符合逻辑，所以比用内部语言难得多。
因此，语言能力低←→思维能力低，我们必须高度重视数学语言训练。法对折法如何？法很好于这条直线轴对称而本章就有相当多的数学语言训练机会，千万别浪费了！法对折法如何？法很好于这条直线轴对称
概念逻辑定义的表述：教材多次运用了“如果……那么叫做（就说、就称）……”之类的句式。
逻辑判断（描述两概念之关系）的表述：教材多次运用了“如果……则……”这样的单句，务必提醒学生，“如果……”半句是说“条件”、“则……”半句是说结论。所以，对随后多次出现的省略型单句（如第118页“线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等”），要引导学生补上“如果”和“则”，弄清谁是条件、谁是结论。
演绎推理（描述若干判断之关系）的表述更丰富！先用简单复句：第117页对人字形屋顶问题的推导过程“如……那么……于是……”。随后复句稍长：第118页8、9两行“由于……因此……又由于……从而……因此……”。再后复句更长：第123页例题第（2）问的推导过程“设……，则……‖所以……‖所以……”，第127页《动脑筋》题的解答过程“因为……‖所以……‖由此得出……”，第137页《动脑筋》题的证明过程“因为……‖所以……‖从而……‖再由……‖因此……”。此外，也要引导学生弄清复句中每个单句的功能——谁是条件、谁是结论。
二、请用好数学研究方法资源。
怎样才能贯彻新理念“让学生像数学家一样研究数学”，——那就要知道数学家研究数学的基本方法。
对此，刚修改的数学课标回答了一句话：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”，——因为数学史证明数学家研究数学经历的就是“观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明”过程。
本章教材就提供了丰富的上述活动过程，我们要用好这一资源，大力发展学生的数学研究能力。
第115页先观察印章图样，再发现两图形的形状相同但方向相反，以此为基础提出“轴反射”概念及轴反射的性质；第117页先观察人字形屋顶图样，再发现中垂线；第118页先观察图示，再通过测量发现“线段中垂线上任一点到线段两端点等距”；第122页先观察三角形三条特殊内部线段的图示，再要求“试着为”这三条线段“命名”；同页还要求通过拼接操作自主发现三角形三边之间的关系；……
我数了数，此类活动本章共设置了14次，真好！
三、请关注：原命题为真，逆命题不一定为真！
本章出现了很多原命题与逆命题皆真的情形，如：
第118页，两点A、B关于直线L对称﹤＝﹥直线L是线段AB的中垂线；118-119页，点在线段的中垂线上﹤＝﹥点到线段两端点等距；第131页加第133页，等腰三角形﹤＝﹥有两个角相等；第133页，等角对等边﹤＝﹥等边对等角；第137页，等边三角形﹤＝﹥三内角皆为600。
这是好事，让学生开始接触命题逻辑以培养逻辑思维能力。但一味如此会危险——容易暗示一个错误观念“原命题真、逆命题必真”！
因此务必补充若干反例以澄清事实：如“金子是闪光的，闪光的却不一定是金子”之类；又如结合本章内容，三角形外角和等于3600，但外角和等于3600的图形却不一定是三角形（因为任何多边形的外角和都等于3600）。
四、能否换个办法定义“两图形关于某直线对称”？
教材用“轴反射”来定义，对“对称点”则未给出精确定义。
此法似不理想。第一，塞进来的“轴反射”概念在本章再没用过，是否多余？第二，被模糊带过的“对称点”概念反倒在本章一用再用，岂非舍本逐末？
换个办法如何？象第114页那样用对折法定义“轴对称图形”及其对称轴-→定义“对称点”（其连线被对称轴垂直平分）-→图形某部分的任一点都能在另一部分找到其对称点（对称轴上点的对称点就是它自身）-→推广到“两图形关于某直线对称”（图形a上的任一点都能在图形b上找到其对称点，反之亦然）。
这样做的好处是：复习巩固了逻辑化思想，严谨；复习巩固了量化思想，数量化、直观化；复习巩固了化归化思想（几何图形化归为点，如解析几何的起点就是“平面上的点与二元数组一一对应”），“化新为旧”、“化繁为简”；能消除“轴对称只是两图形轮廓线对称”的误解（对第114页第5行的“完全重合”须认真解读）；便于用来学习本章随后内容。法对折法如何？法很好于这条直线轴对称
五、“结构化教学”别只关注“知识结构”！
大家都知道应该推行“结构化教学”，吴亚萍《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》的教学法建议概括地说就是“学结构、用结构”。
但“结构”仅仅是“知识结构”吗？不，吴书指出“结构”有三个：“知识结构”即数学知识的逻辑结构，“方法结构”即各种解决问题数学方法之间的关系结构，“认知结构”即学生学数学的认知活动结构（知情意相互影响、从感性到理性等）。
这样来看，本章教材的“小结”就需改进了。
其第一部分“基本概念”图示出了本章的知识结构，很好。
但第二部分“基本方法”却单薄了：用轴反射性质探究线段或角相等，用内角和性质探究外角和，用等腰或等边三角形性质探究线段或角相等。这些都只是“小办法”，只停留在“解题术”水平！
难道本章没用更有价值的数学基本思想方法吗？非也，不但用了、还用得很多，仅举一例——本章研究三角形性质的部分：
（1）量化方法：研究三边大小关系；研究内角和、外角与相邻内角互补、外角和；研究边角之间的大小对应。
（2）逻辑化方法：先研究一般三角形，再研究特殊的等腰、等边三角形；以三边长度关系为依据对三角形做划分；前文提到的概念逻辑、判断逻辑和演绎逻辑。
（3）化归化方法：将复杂轴对称图形化归为最简的对称点。
（4）结构化方法：全章都是研究三角形的结构特征。